Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Прочее arrow Определение гравитационного потенциала

Гравитационный потенциал и коэффициент J2

Потенциалом принято называть работу, которую нужно совершить, чтобы переместить материальную точку единичной массы из заданной точки в бесконечно удалённую. Пусть F есть вектор силы (записан в столбец), приложенной к материальной точке, r - радиус-вектор этой точки. Тогда потенциалом в данной точке будет величина:

Выражение под интегралом в данной формуле является полным дифференциалом силовой функции, т.е.

т.к. силовую функцию в бесконечно удалённой точке можно приравнять нулю (V(?) = 0).

В геофизике под термином гравитационный потенциал понимается силовая функция.

Согласно фундаментальному закону Ньютона, две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Выберем систему координат так, чтобы одна из материальных точек оказалась в начале координат этой системы. Тогда другая материальная точка будет иметь радиус-вектор r.

Вектор напряжённости гравитационного поля в точке с радиус-вектором r равен силе, которая действует на материальную точку единичной массы. Вектор этой силы можно записать следующей формулой:

Где - гравитационная постоянная. Абсолютная величина вектора F равна:

Соответственно, гравитационный потенциал точки (силовая функция) равен:

где - расстояние между притягивающимися точками (скалярная величина).

Исходя из принципа суперпозиции, гравитационный потенциал точек равен сумме их гравитационных потенциалов:

Пусть точек бесконечно много, а массы их бесконечно малы. Тогда:

где - расстояние между фиксированной точкой P, в которой измеряется потенциал, и элементом притягивающей единичной массы .

Пусть - координаты точки P, а о, з, ж - координаты текущей точки с массой dm; тогда гравитационный потенциал можно переписать в виде следующей формулы:

Большинство крупных небесных тел имеет форму, близкую к сферической. Поэтому важно определить гравитационный потенциал шара. Для упрощения задачи предполагаем, что плотность шара зависит только от расстояния до его центра. Такой шар имеет силу притяжения точно такую же, как и материальная точка с массой, равной массе шара и находящаяся в его центре. Потенциалом шара будет:

где r - расстояние от центра сферы, GM - планетоцентрическая постоянная.

Однако, поскольку наша планета не является строго сферической, ограничиться при записи её гравитационного потенциала только потенциалом шара можно лишь на больших расстояниях. Основная составляющая отклонения гравитационного поля планеты от сферического вызвано её сжатием у полюсов. Роль играют и другие неоднородности фигуры планеты - её грушевидность и т.д. В данном исследовании мы сосредоточимся именно на сжатии, вносящим наиболее значительный вклад.

Отклонение внешнего гравитационного поля Земли от потенциала шара достаточно мало, порядка одной трёхсотой и меньше. Несмотря на это, его стоит учитывать и изучать, так как оно содержит ценную информацию о колебаниях плотности в недрах планеты, различии моментов инерции планеты относительно её полярной и экваториальной осей и об отклонении планетарных недр от состояния гидростатического равновесия.

С учётом неоднородностей фигуры планеты, разложение гравитационного поля в ряд Лапласа с последующим переходом к полиномам Лежандра даёт для гравитационного потенциала осесимметричного тела формулу:

Нечетные члены отсутствуют, поскольку поле такой планеты симметрично относительно экватора (теорема Лихтенштейна).

Ограничиваясь первым членом суммы, получаем

- гравитационный момент, a - экваториальный радиус Земли,

- второй полином Лежандра, A и С - главные моменты инерции, и - полярный угол, равный дополнению широты до , т.е. .

До запусков ИСЗ за счёт наземных измерений удалось определить первый поправочный член J2 к основной части гравитационного потенциала Земли. В спутниковую эпоху точность определения существенно возросла.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Право
Психология
Религиоведение
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее