Решение уравнения для векторного потенциала плотности тока для бинарного электролита для задач с осевой симметрией

Предположим, что необходимо определить плотность тока в некоторой задаче с осевой симметрией. В цилиндрических координатах это означает, что вектор не зависит от угла , т.е. вектор лежит в плоскости . Поэтому в качестве будем рассматривать азимутальную составляющую завихренности по формуле .

В цилиндрической системе координат выражение (9) имеет вид:

(22)

(23)

Вычислим , получаем:

Так как , где , то , следовательно:

или с учетом формулы , где ,

:

или

(24)

Из (24) следует, что в цилиндрической системе координат имеем:

.

Из этого равенства следует существование такой функции , что:

,

,

Выражение через функцию имеем вид:

,

где справа оператор Лапласа считается в цилиндрических координатах. Таким образом, уравнение (24) запишется в виде:

или

.

Так как , то окончательно имеем:

(25)

Вид уравнения для полностью совпадает с двумерным случаем [4, 6].

Замечание

Предложенные выше математические модели переноса бинарного электролита несложно обобщить на случай произвольного электролита. Однако при этом соответствующие уравнения имеют громоздкий вид. В связи с этим изложение здесь ограничено бинарным электролитом.

Краевые условия могут быть разнообразными и зависят от цели конкретного исследования, в связи с этим, в данной работе приведены лишь уравнения, имеющие общий вид.