Решение уравнения для векторного потенциала плотности тока для бинарного электролита для задач с осевой симметрией
Предположим, что необходимо определить плотность тока в некоторой задаче с осевой симметрией. В цилиндрических координатах это означает, что вектор не зависит от угла , т.е. вектор лежит в плоскости . Поэтому в качестве будем рассматривать азимутальную составляющую завихренности по формуле .
В цилиндрической системе координат выражение (9) имеет вид:
(22)
(23)
Вычислим , получаем:
Так как , где , то , следовательно:
или с учетом формулы , где ,
:
или
(24)
Из (24) следует, что в цилиндрической системе координат имеем:
.
Из этого равенства следует существование такой функции , что:
,
,
Выражение через функцию имеем вид:
,
где справа оператор Лапласа считается в цилиндрических координатах. Таким образом, уравнение (24) запишется в виде:
или
.
Так как , то окончательно имеем:
(25)
Вид уравнения для полностью совпадает с двумерным случаем [4, 6].
Замечание
Предложенные выше математические модели переноса бинарного электролита несложно обобщить на случай произвольного электролита. Однако при этом соответствующие уравнения имеют громоздкий вид. В связи с этим изложение здесь ограничено бинарным электролитом.
Краевые условия могут быть разнообразными и зависят от цели конкретного исследования, в связи с этим, в данной работе приведены лишь уравнения, имеющие общий вид.