Вывод уравнений для плотности тока в трехмерном случае
Умножим уравнения (2) на и просуммируем. Тогда из выполнения условия электронейтральности (3) следует равенство:
.
Поскольку для плотности тока выполнено уравнение (10), то для однозначной разрешимости нужно найти [3].
Из уравнения (9), учитывая тождество , получим:
Следовательно, учитывая и ,
,
получим:
Так как
то
(12)
Таким образом, для нахождения вектора получаем систему уравнений:
электрический трехмерный электролит бинарный
(13)
(14)
Методы решения уравнения для плотности тока
Рассмотрим различные методы решения системы уравнений для плотности тока.
Решение системы уравнений с использованием векторного потенциала
Из уравнения (13) следует, что для существует векторный потенциал, т.е. такая вектор-функция , что
(15)
Тогда для функции получаем дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка:
(16)
Кстати, при этом уравнение (13) выполняется автоматически.
Решение стационарного уравнения (16) удобно находить численно методом установления, используя уравнение:
(17)
Решение исходной системы уравнений для плотности тока сведением к неизвестной потенциальной функции
Второе уравнение можно записать в виде:
и поэтому исходную систему уравнений (13), (14) можно записать в виде:
(18)
(19)
Поскольку, согласно первому уравнению, поле является соленоидальным, то будем искать его в виде [3]:
, где любое частное решение уравнения (19), а функция подлежит определению.
Возьмем в виде:
Так как, с одной стороны , а с другой стороны , то является решением уравнения (19). Тогда и является решением уравнения (19). Остается выбрать функцию , так чтобы выполнялось уравнение (18).
Подставим в уравнение (18), тогда
.
Приравнивая к нулю, получаем для уравнение:
(20)
или
(21)