Вывод уравнений для плотности тока в трехмерном случае

Умножим уравнения (2) на и просуммируем. Тогда из выполнения условия электронейтральности (3) следует равенство:

.

Поскольку для плотности тока выполнено уравнение (10), то для однозначной разрешимости нужно найти [3].

Из уравнения (9), учитывая тождество , получим:

Следовательно, учитывая и ,

,

получим:

Так как

то

(12)

Таким образом, для нахождения вектора получаем систему уравнений:

электрический трехмерный электролит бинарный

(13)

(14)

Методы решения уравнения для плотности тока

Рассмотрим различные методы решения системы уравнений для плотности тока.

Решение системы уравнений с использованием векторного потенциала

Из уравнения (13) следует, что для существует векторный потенциал, т.е. такая вектор-функция , что

(15)

Тогда для функции получаем дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка:

(16)

Кстати, при этом уравнение (13) выполняется автоматически.

Решение стационарного уравнения (16) удобно находить численно методом установления, используя уравнение:

(17)

Решение исходной системы уравнений для плотности тока сведением к неизвестной потенциальной функции

Второе уравнение можно записать в виде:

и поэтому исходную систему уравнений (13), (14) можно записать в виде:

(18)

(19)

Поскольку, согласно первому уравнению, поле является соленоидальным, то будем искать его в виде [3]:

, где любое частное решение уравнения (19), а функция подлежит определению.

Возьмем в виде:

Так как, с одной стороны , а с другой стороны , то является решением уравнения (19). Тогда и является решением уравнения (19). Остается выбрать функцию , так чтобы выполнялось уравнение (18).

Подставим в уравнение (18), тогда

.

Приравнивая к нулю, получаем для уравнение:

(20)

или

(21)