Физическая постановка задачи

В работе [11] обосновано, что при математическом моделировании процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть тепломассоперенос только в КО, считая концентрацию и температуру в камерах концентрирования постоянной и учитывая влияние катионообменной (КМ) и анионообменной мембран (АМ) в виде граничных условий.

Чтобы теоретически изучить взаимодействие вынужденной, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации / рекомбинации молекул воды, а также Джоулева нагрева раствора и переноса тепла через мембраны, построим математическую модель нестационарного переноса ионов бинарной соли в гладком прямоугольном КО электродиализного аппарата (ЭДА) [22, 23] (рис. 1).

Согласно современным представлениям [12] диссоциация молекул воды представляет собой каталитическую реакцию, проходящую внутри ионообменных мембран, примыкающих к межфазной границе, причем с поглощением тепла. В связи с этим удобно учитывать реакцию диссоциации молекул воды в виде краевых условий на поток ионов и , зависящие от скачка потенциала на межфазных границах ионообменная мембрана / раствор. В то же время реакция рекомбинации ионов и происходит в глубине раствора, причем с выделением тепла. Эту реакцию удобно учитывать в уравнениях математической модели. Обе эти реакции протекают сравнительно быстро и поэтому они локализованы в узких областях, которые гораздо меньше, например, толщины диффузионного слоя, толщины области пространственного заряда и толщины мембраны [13, 14].

В ЭМС очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации ЭДА: гальванодинамический (гальваностатический) и потенциодинамический (потенциостатический). В данной работе исследуется потенциодинамический режим. Будем считать, что рассматриваемые КМ и АМ являются гомогенными и идеально селективными [24].

Общая математическая модель. При математическом моделировании будем считать ширину КО ЭДА, равной , а длину , ось Ох направим поперек, а ось Оу вдоль канала, причем при расположена АМ, а при КМ, соответствует входу в канал, а выходу из канала.

Уравнения. При указанных выше в п. 1 предположениях перенос ионов соли, а также электроконвекция и гравитационная конвекция с учетом реакции рекомбинации молекул воды и Джоулевого нагрева раствора описываются системой уравнений (1-7) [18, 19].

изображение КО

Рисунок 1. Схематическое изображение КО: - угол наклона;

Слева - АМ; справа - КМ; L, H - длина и ширина канала;

V0 - средняя скорость прокачивания раствора.

гравитационный электроконвекция двумерный диссоциация

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

, (6)

, (7)

Здесь - потоки и концентрации - сорта ионов (- соответствует , - , - , - или, что более точно , так как, протон в растворе гидратирован, т.е. окружен молекулами воды), - скорость течения раствора электролита, - абсолютная температура раствора, - зарядовые числа и коэффициенты диффузии соответствующих ионов, - градиент, - оператор Лапласа, - характерная плотность раствора, - давление, - диэлектрическая проницаемость электролита, - постоянная Фарадея, - газовая постоянная, - абсолютная начальная температура раствора, - время, - коэффициент кинематической вязкости. При этом , - неизвестные функции, зависящие от времени и координат , .

В системе (1-7) уравнения (1-4) описывают электрохимические поля, уравнение (5) температурное поле, а уравнения Навье-Стокса (6), (7) описывают движение раствора под действием пространственной электрической силы, - гомогенные химические реакции, - мощность Джоулева нагрева раствора [15], - мощность источников тепла, выделяющегося за счет рекомбинации молекул воды, - пространственные силы [25-27].

Замечание 1. Подставляя (1) в (2) можно исключить потоки и получить уравнения концентраций:

или

При моделировании реакции диссоциации / рекомбинации будем предполагать, что

, , (8)

где - константа скорости диссоциации воды, - константа скорости рекомбинации ионов и , соответственно. Формулу (8) можно переписать в виде , где - константа равновесия.

Количество тепла выделяющегося при образовании 1 моль воды равно 56.6 кДж/моль [4]. Следовательно, мощность источников тепла выделяющегося в каждой точке пропорционально количеству молей образующихся молекул воды , за вычетом количества дислоцирующих молекул , с коэффициентом пропорциональности кДж/моль, т.е. .

Из формул (6) и (7) [1] получаем , тогда

. (9)

Поглощение тепла при реакции диссоциации молекул воды будем учитывать в виде граничных условий типа стока тепла.

В данной работе в качестве пространственных сил рассматриваются электрическая и подъемная силы, поэтому плотность пространственных сил равна (10), где (11) - плотность электрической силы.

, (10)

, (11)

. (12)

Здесь (12) - плотность архимедовых сил плавучести, где - изменение плотности, - плотность раствора, - характерная средняя плотность раствора, - вектор ускорения свободного падения.

В работе [10] температура раствора предполагалась постоянной, т.е. игнорировался Джоулев нагрев раствора, что допустимо для не слишком разбавленных растворов. В этом случае плотность раствора не зависит от температуры. В данной работе мы учитываем Джоулев нагрев раствора, и, соответственно, зависимость плотность раствора от температуры.

Выберем в жидкости произвольный объем и разложим функцию в ряд Тейлора около характерных значений давления P0 и концентрации и температуры .

Ограничиваясь первыми членами разложения, получим

(13)

Будем использовать приближение Буссинеска и пренебрегать вторым слагаемым в правой части (13). Для рассматриваемой задачи получаем:

(14)

Величины в формуле (14), вообще говоря, зависят от концентраций и температуры , но при небольших изменениях их можно считать постоянными [16]:

, , . (15)

Таким образом, плотность архимедовых сил плавучести в приближении Буссинеска при небольших изменениях равна

. (16)

В предложенной системе - неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, а остальные величины считаются известными. Уравнения Навье-Стокса (6), (7) с учетом введенных выше сил описывают гравитационную конвекцию и электроконвекцию.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >