Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow 2D-моделирование влияния основных сопряженных эффектов на перенос ионов бинарной соли в электромембранных системах

Физическая постановка задачи

В работе [11] обосновано, что при математическом моделировании процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть тепломассоперенос только в КО, считая концентрацию и температуру в камерах концентрирования постоянной и учитывая влияние катионообменной (КМ) и анионообменной мембран (АМ) в виде граничных условий.

Чтобы теоретически изучить взаимодействие вынужденной, гравитационной и электроконвекции, реакции диссоциации / рекомбинации молекул воды, а также Джоулева нагрева раствора и переноса тепла через мембраны, построим математическую модель нестационарного переноса ионов бинарной соли в гладком прямоугольном КО электродиализного аппарата (ЭДА) [22, 23] (рис. 1).

Согласно современным представлениям [12] диссоциация молекул воды представляет собой каталитическую реакцию, проходящую внутри ионообменных мембран, примыкающих к межфазной границе, причем с поглощением тепла. В связи с этим удобно учитывать реакцию диссоциации молекул воды в виде краевых условий на поток ионов и , зависящие от скачка потенциала на межфазных границах ионообменная мембрана / раствор. В то же время реакция рекомбинации ионов и происходит в глубине раствора, причем с выделением тепла. Эту реакцию удобно учитывать в уравнениях математической модели. Обе эти реакции протекают сравнительно быстро и поэтому они локализованы в узких областях, которые гораздо меньше, например, толщины диффузионного слоя, толщины области пространственного заряда и толщины мембраны [13, 14].

В ЭМС очистки воды, как правило, применяется два основных режима эксплуатации ЭДА: гальванодинамический (гальваностатический) и потенциодинамический (потенциостатический). В данной работе исследуется потенциодинамический режим. Будем считать, что рассматриваемые КМ и АМ являются гомогенными и идеально селективными [24].

Общая математическая модель. При математическом моделировании будем считать ширину КО ЭДА, равной , а длину , ось Ох направим поперек, а ось Оу вдоль канала, причем при расположена АМ, а при КМ, соответствует входу в канал, а выходу из канала.

Уравнения. При указанных выше в п. 1 предположениях перенос ионов соли, а также электроконвекция и гравитационная конвекция с учетом реакции рекомбинации молекул воды и Джоулевого нагрева раствора описываются системой уравнений (1-7) [18, 19].

изображение КО

Рисунок 1. Схематическое изображение КО: - угол наклона;

Слева - АМ; справа - КМ; L, H - длина и ширина канала;

V0 - средняя скорость прокачивания раствора.

гравитационный электроконвекция двумерный диссоциация

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

, (6)

, (7)

Здесь - потоки и концентрации - сорта ионов (- соответствует , - , - , - или, что более точно , так как, протон в растворе гидратирован, т.е. окружен молекулами воды), - скорость течения раствора электролита, - абсолютная температура раствора, - зарядовые числа и коэффициенты диффузии соответствующих ионов, - градиент, - оператор Лапласа, - характерная плотность раствора, - давление, - диэлектрическая проницаемость электролита, - постоянная Фарадея, - газовая постоянная, - абсолютная начальная температура раствора, - время, - коэффициент кинематической вязкости. При этом , - неизвестные функции, зависящие от времени и координат , .

В системе (1-7) уравнения (1-4) описывают электрохимические поля, уравнение (5) температурное поле, а уравнения Навье-Стокса (6), (7) описывают движение раствора под действием пространственной электрической силы, - гомогенные химические реакции, - мощность Джоулева нагрева раствора [15], - мощность источников тепла, выделяющегося за счет рекомбинации молекул воды, - пространственные силы [25-27].

Замечание 1. Подставляя (1) в (2) можно исключить потоки и получить уравнения концентраций:

или

При моделировании реакции диссоциации / рекомбинации будем предполагать, что

, , (8)

где - константа скорости диссоциации воды, - константа скорости рекомбинации ионов и , соответственно. Формулу (8) можно переписать в виде , где - константа равновесия.

Количество тепла выделяющегося при образовании 1 моль воды равно 56.6 кДж/моль [4]. Следовательно, мощность источников тепла выделяющегося в каждой точке пропорционально количеству молей образующихся молекул воды , за вычетом количества дислоцирующих молекул , с коэффициентом пропорциональности кДж/моль, т.е. .

Из формул (6) и (7) [1] получаем , тогда

. (9)

Поглощение тепла при реакции диссоциации молекул воды будем учитывать в виде граничных условий типа стока тепла.

В данной работе в качестве пространственных сил рассматриваются электрическая и подъемная силы, поэтому плотность пространственных сил равна (10), где (11) - плотность электрической силы.

, (10)

, (11)

. (12)

Здесь (12) - плотность архимедовых сил плавучести, где - изменение плотности, - плотность раствора, - характерная средняя плотность раствора, - вектор ускорения свободного падения.

В работе [10] температура раствора предполагалась постоянной, т.е. игнорировался Джоулев нагрев раствора, что допустимо для не слишком разбавленных растворов. В этом случае плотность раствора не зависит от температуры. В данной работе мы учитываем Джоулев нагрев раствора, и, соответственно, зависимость плотность раствора от температуры.

Выберем в жидкости произвольный объем и разложим функцию в ряд Тейлора около характерных значений давления P0 и концентрации и температуры .

Ограничиваясь первыми членами разложения, получим

(13)

Будем использовать приближение Буссинеска и пренебрегать вторым слагаемым в правой части (13). Для рассматриваемой задачи получаем:

(14)

Величины в формуле (14), вообще говоря, зависят от концентраций и температуры , но при небольших изменениях их можно считать постоянными [16]:

, , . (15)

Таким образом, плотность архимедовых сил плавучести в приближении Буссинеска при небольших изменениях равна

. (16)

В предложенной системе - неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, а остальные величины считаются известными. Уравнения Навье-Стокса (6), (7) с учетом введенных выше сил описывают гравитационную конвекцию и электроконвекцию.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Право
Психология
Религиоведение
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее