Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Техника arrow Анализ конструктивно-технологических ограничений при проектировании лавинных фотодиодов, работающих в режиме счета фотонов

Физическая модель интегрального фотодиода в режиме счета фотонов.

Простейшая структура лавинного фотодиода приведена на рис. 1.

Поперечный разрез структуры планарного кремниевого лавинного фотодиода, сформированного на подложке p-типа с удельным сопротивлением с ? 10 Ом•см

Рис. 1. Поперечный разрез структуры планарного кремниевого лавинного фотодиода, сформированного на подложке p-типа с удельным сопротивлением с ? 10 Ом•см (p0 ? 1015 см-3) с помощью двух базовых имплантаций: поверхностной n++ с дозой 10-100 мкКл/см2 и заглубленной p+ с дозой порядка 1 мкКл/см2

Глубина p+-слоя d определяющим образом влияет на напряжение лавинного пробоя Vn. Отметим, для конкретики, что при d = 0.7 мкм Vп ? 20 В, а уже при d = 1 мкм Vп ? 30 В. В этом диапазоне напряжений нарастание величины электрического поля, обусловленное концентрацией фоновой примеси (p0 ? 1015 см-3), оказывается сравнительно малым, что и позволяет считать электрическое поле между слоями постоянным E = const.

Во втором разделе, в пренебрежении актами дырочных ионизаций, методами классической статистики исследован процесс формирования электронных сгустков в области сильного поля из единственного электрона, стартующего с катода.

Получена функция распределения кратности электронного умножения при однократном пролете области сильного поля:

(4)

Функция распределения (4), представленная на рис.2 при трех различных значениях параметра d, максимальна при n = 1 (безионизационый пролет), демонстрирует значительную протяженность в сторону больших n. Ее максимальное значение уменьшается с ростом d, но ее протяженность в область больших n увеличивается более значительно, так, что среднее число электронов в сгустке у анода существенно растет.

.(5)

Распределение вероятности кратности электронного умножения при различных значениях параметра d

Рис. 2. Распределение вероятности кратности электронного умножения при различных значениях параметра d: 1 - d = 2; 2- d = 3; 3 - d = 4

Следует обратить внимание также на аномально широкую дисперсию этого распределения при больших средних

(6)

Адекватность полученных классически особенностей функции распределения кратности электронного умножения подтверждена математическим моделированием по методу Монте-Карло. Вводится понятие коэффициента усиления петли обратной связи лавинного процесса, для замыкания которой необходим учет дырочных ионизаций. Предполагая выполненным условие /б << 1 (в силу асимметрии коэффициентов ударной ионизации), в рассматриваемой статистике можно ограничиться учетом лишь двух альтернативных событий: 1) пролет дыркой интервала б-1 без ионизации с вероятностью (1- б-1), и 2) пролет с единичной ионизацией, т.е. генерацией нового электрона с вероятностью б-1 << 1.

Использование такой бинарной функции распределения вероятности для дырок совместно с функцией распределения (4) позволяет записать вероятности различных реализаций первой стадии развития лавинного процесса, заканчивающейся генерацией дырками некоторого количества новых электронов в прикатодном слое пролетной области протяженностью -1. Соответствующие аналитические выражения имеют вид:

(7)

После сравнительно несложных преобразований формулы (7), при условии , трансформируются в довольно простые выражения

(8)

где обозначено . Обобщая соотношения (8), получим искомую формулу для вероятности того или иного значения k - парциального коэффициента усиления единичной петли обратной связи:

(9)

Эта функция распределения парциальных значений коэффициента усиления петли обратной связи (9) нормирована на единицу. Как и функция (4), выражение (9) максимально при минимальном k (k = 0), последние означает, что наивероятнейшим результатом регенерации единичного электрона является негативное событие, т.е. выключение лавины уже на первой стадии ее развития. Функция распределения (9) дает правильную величину среднего коэффициента регенерации:

(10)

Итак, предположим, что вследствие неких причин в момент времени ti в окрестности катодного края (i-p переход, x = 0) диода появилось ni(0) электронов. В свою очередь для каждого из этих электронов имеется вероятность совершить d•б(E) > 1 актов ударной ионизации на пути к анодной границе (i-n переход, x = d). При этом в среднем за время пролета tпр= d/vs (vs - скорость насыщения) в n+- область синфазно уйдут ni(0) электронных сгустков со средним числом exp(d•б(E)) электронов в каждом, то есть

(11)

В результате тех же актов электронной ударной ионизации в течение временного интервала Дt = 2tпр окрестность катодной границы пересечет такое же количество дырок. Эти дырки, несмотря на сравнительно небольшую величину ионизационного интеграла, создадут в слое протяженностью б-1 у катодной границы (x = 0) в момент времени ti+1= ti + Дt новые электроны в количестве

,(12)

которые и «запустят» следующую стадию формирования лавинного процесса.

В четвертом разделе второй главы построен эффективный алгоритм расчетной процедуры определения формы токовых импульсов и приведены результаты численного моделирования.

Чтобы проследить развитие процесса разрядки емкости диода при превышении напряжения на диоде над пороговым, необходимо, наряду с формулой для среднего коэффициента усиления (10), также учитывать изменение напряжения на лавинном фотодиоде, определяющего численное значение коэффициента (10).

При этом диод с одной стороны, разряжается внутренним током электронных сгустков и дырочных «хвостов», а с другой - дозаряжается током от источника питания Vи через нагрузочное сопротивление Rн. Упрощенная эквивалентная схема, иллюстрирующая этот процесс, показана на рис 3(а).

a)Упрощенная эквивалентная схема однофотонного лавинного фотодиода. б) Характерные временные зависимости напряжения на диоде (результаты численного моделирования d = 0,7 мкм, С = 250 фФ)

Рис. 3. a)Упрощенная эквивалентная схема однофотонного лавинного фотодиода. б) Характерные временные зависимости напряжения на диоде (результаты численного моделирования d = 0,7 мкм, С = 250 фФ)

Приведенной схеме включения отвечает парциальное изменение напряжения на диоде за интервал Дt = 2tпр дискретизации текущего времени:

,(13)

где - емкость диода, e - элементарный заряд.

Система уравнений (11, 12, 13) представляет собой простую итерационную модель развития лавинного процесса в фотодиоде. Для корректной реализации модели использовались только целочисленные значения ni, что особенно важно для числа инициирующих электронов. При этом, как только ni(0) становится равным нулю в предложенной итерационной схеме, лавинный пробой автоматически «выключается», что позволяет току во внешней цепи через Rн восстановить напряжение на диоде до исходного напряжения источника питания. При моделировании использовались следующие начальные значения параметров: V0=Vи - напряжение источника питания, n0(d) = 0 - число электронов у анодной границы в начальный момент времени t0, n0(0) = 1 - первичный фотоэлектрон у катодной границы в начальный момент времени t0. Остальные необходимые для расчета технологические параметры лавинного фотодиода и эквивалентной схемы: емкость диода С, длину пролетной области d, сопротивление нагрузки Rн - легко задавать и варьировать.

На рис. 3(б) приведены зависимости напряжения на лавинном фотодиоде, включенном одиночным электроном, от времени для напряжения источника Vи = 26 В при нескольких характерных значениях сопротивления нагрузки Rн = 1, 2, 4 кОм. Оказалось, что значению Rн = 1 кОм отвечает своеобразное апериодическое «включение» стационарного пробоя с напряжением Vп = 23,8 В и током, определяемым падением избыточного напряжения (перенапряжения) (Vи - Vп) на нагрузочном сопротивлении. А при Rн ? 2 кОм происходит восстановление напряжения питания на фотодиоде в результате полного выключения лавинного тока во временном промежутке, когда напряжение на диоде было ниже порогового.

Следует отметить практически одинаковое поведение всех этих кривых на первом этапе релаксационного процесса, который распространяется до напряжения существенно меньшего, чем Vп, что обусловлено специфической инерционностью лавинного процесса.

Анализируя результаты построенной простой теоретической модели работы кремниевого лавинного фотодиода, можно сформулировать несколько основных выводов:

  • — в режиме лавинного пробоя в области умножения кремниевого фотодиода подавляющее число ионизаций инициируется электронами (б > в); преобладание электронных ионизаций компенсирует недостаток дырочных, так что результирующий коэффициент положительной обратной связи не превышает разумных значений ~ 2,5;
  • — форму однофотонного импульса отличает быстрая стадия лавинной разрядки емкости диода с характерной длительностью около 0,1 - 0,3 нс, и относительно медленная стадия (восстановления) дозарядки, длительность которой определяют электрические параметры внешней цепи;
  • — при слишком быстрой дозарядке диод переходит в состояние стационарного лавинного пробоя с напряжением V = Vп и стационарным током (Vи - Vп)/Rн.

Динамика токовых импульсов с учетом латеральной неоднородности

фотодиод ионизация полупроводник импульс

Рассматривается сложная пространственная структура задачи, а именно, высокая локализация исследуемого нестационарного процесса лавинной перезарядки по площади диодной структуры. Поскольку главная фаза нестационарного процесса лавинной разрядки емкости диода, инициированная единичным электроном в какой-то случайной точке его площади, столь быстротечна (несколько десятых наносекунд), естественно предположить, что в это малое время перезарядиться до глубоко подпороговых значений сможет относительно малая часть площади диода. Поэтому в конкурирующем процессе дозарядки емкости диода от источника напряжения появится дополнительная временная задержка на растекание локального инжектированного заряда по площади катодного коллекторного p+- слоя структуры (рис. 1), что может кардинально проявиться в кинетике дозарядки, а, следовательно, повлиять (количественно) на соответствующий критерий самовыключения лавинного процесса.

Рассматривается электрическая реакция лавинного фотодиода (рис. 4(а)) на «прибытие» в центральную (для простоты) точку p+ - катода диода очередной порции положительного дырочного заряда, в характерный промежуток времени Дt = 2tпр ? 2*10-11 с.

а) Условная картина растекания электрического тока при локальном пробое лавинного фотодиода

Рис. 4. а) Условная картина растекания электрического тока при локальном пробое лавинного фотодиода. Vи - напряжение источника питания, Rн - сопротивление нагрузки, Vс - сигнальное напряжение. б) Результаты моделирования возможных режимов ЛФД с емкостью 90 фФ и сопротивлением 10 кОм для Rн = 30 кОм (кривая 1) и Rн =12 кОм (кривая 2). Для сравнения приведена кривая релаксации (3) ЛФД с малым (0.1 кОм) сопротивлением растекания

Вводится определение локального потенциала в катодном p+-слое диодной структуры ц(r,t), зависящего от времени и внутренней латеральной координаты r, тогда ток во внешней цепи задается интегральным соотношением:

, (14)

где сs ? 10 Ом•см удельное сопротивление подложки, hs ? 10 мкм - толщина ее слоя между p+ - обкладкой и заземляющей шиной, S - площадь диода (p+ -cлоя). Соответственно полный емкостной заряд определяется выражением:

(15)

где удельная емкость диода С0 = ее0/d ? 10-8 Ф/см2.

Комбинируя выражения (14), (15), получим

(16)

Отсюда следует интересная особенность «сконструированной» для упрощения задачи внешней цепи (протяженный электрод заземления), заключающаяся в том, что любой нестационарный заряд Q релаксирует с одной и той же постоянной времени C(Rп+Rн) вне зависимости от формы его распределения по площади p+ - обкладки конденсатора (диода). Тем не менее, это обстоятельство необходимо учитывать для расчета текущих значений коэффициентов умножения б и в, поскольку для этого необходимы текущие значения потенциала ц(0,t) = Цt, при r = 0, т.е. в «точке» пробоя.

Для этого рассматривается известное решение двумерного телеграфного уравнения [9], описывающего центрально-симметричное расплывание заряда из окрестности точки r = 0

, (17)

где R ? 10 кОм - сопротивление p+ - слоя, ц0t0 - постоянная интегрирования. В качестве t0, естественно, выбирается характерное время задачи ф ? 2tпр ? 2*10-11 с. Интегрирование по площади потенциала (17), умноженного на С0, дает соответствующий заряд

(18)

Здесь коэффициент 4рф/R=ДC, тем больший, чем меньше сопротивление растекания R, отражает характерное расплывание отдельной порции локального дырочного заряда за время его «введения» в систему. Он играет роль дискреты эффективной емкости растекания, которая, увеличиваясь со временем, достигает номинальной емкости диода C за время t = nф, где n = C/ДC- число временных интервалов ф, за которое введенный заряд успевает распространиться по всей площади диода. При этом, в соответствии с формулой (18), интересующий потенциал центральной точки Цt уменьшается обратно пропорционально дискретному времени iф, достигая стационарного значения при i = n.

Сама же формула (18) позволяет по величине парциального заряда qi, локально инжектированного на соответствующей стадии лавинного процесса в p+ - обкладку исследуемой диодной структуры, рассчитать амплитуду ц(0,i) - компоненту потенциала, отвечающего компоненте заряда qi.

Предлагается модифицированная итерационная схема моделирования с учетом динамики растекания в катодном слое. Обозначив число электронов, инициирующих i-ю стадию процесса, генерированных в прикатодном слое протяженностью б-1, на предыдущей (i-1) стадии как Ni-1, можно записать сначала парциальный заряд электронного сгустка, пришедшего на анод в i интервал дискретного времени:

. (19)

Точно такой же величине равен и парциальный заряд дырок, пришедших на катод за временной интервал 2tпр, сгенерировав при этом новых электронов для инициации следующей (i+1) стадии процесса

(20)

Полный дополнительный заряд на обкладках диода увеличивается за счет поступления очередной порции лавинного тока и уменьшается, «вытекая» во внешнюю цепь:

, (21)

где фn = (Rп+Rн)C.

Соответственно, ток во внешней цепи равен

, (22)

а напряжение на диоде Vи - IRн.

Чуть более сложный вид имеет формула для локального потенциала Ц в точке пробоя

. (23)

Следует обратить внимание на то, что числитель в формуле (23) отвечает «утеканию» инжектированных зарядов во внешнюю цепь, а знаменатель - их «растеканию» из «точки» пробоя по площади диода.

На рис. 4(б) приведены кривые релаксации для значений Rн = 30 и 12 кОм. И в том, и в другом случае зависимости демонстрируют быструю лавинную стадию разрядки емкости диода до значений существенно ниже напряжения пробоя (горизонтальный участок линии 2).

Тем не менее, на стадии восстановления явно различаются два этапа. В быстром этапе превалирует восстановление локального потенциала за счет растекания по площади p+-катода дырочного заряда, инжектированного в точку пробоя. Этот этап достаточно близко подводит локальный потенциал (снизу) к потенциалу Vп стационарного режима лавинного процесса (q = 1), облегчая при этом задачу второго, более медленного этапа обычной RнC дозарядки (уход оставшегося неравновесного дырочного заряда во внешнюю цепь через подложку). Задачей второго этапа является смещение общего уровня потенциала так, чтобы его локальное (в точке пробоя) значение превзошло критический потенциал Vп. В этом случае лавина сможет развиться снова, если к тому времени в ней останется сколько-нибудь значимое количество инициирующих электронов. Последнее обстоятельство объясняет тот важный аспект, что для выключения лавинного процесса необходимо соответствующее замедление RнC дозарядки и увеличение критического сопротивления нагрузки с 1 до порядка 20 кОм.

Проделав значительную серию численных экспериментов для широкой области значений внешних параметров С и R, были получены зависимости критического сопротивления нагрузки от сопротивления имплантированного слоя R (рис. 5)

Результаты серии численных экспериментов по определению значений критического сопротивления нагрузки

Рис. 5. Результаты серии численных экспериментов по определению значений критического сопротивления нагрузки: а) в линейном масштабе; б) в логарифмическом масштабе. Кривые на графиках соответствуют следующим значениям емкости C, фФ: 1 - 10, 2 - 30 , 3 - 90, 4 - 270

Результаты, представленные на рис. 4(б) и рис. 5(а,б), убедительно доказывают важность рассмотренного физического явления (растекания тока) в формировании импульсной реакции лавинного фотодиода на однофотонное возбуждение. Поскольку именно учет своеобразной динамики растекания заряда из точки пробоя переводит расчетные значения требуемых нагрузочных сопротивлений в область реальных величин, соответствующих практике эксперимента и проектирования сенсорных устройств на основе лавинных фотодиодов. Не менее важно, что данная модифицированная модель позволяет определить необходимую дозу имплантации p+ - слоя, которую обычно, в целях минимизации дефектности активной области приборных структур, стремятся уменьшить.

 
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Право
Психология
Религиоведение
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее